第六章 省赛（2 / 3）

苏省奥数竞赛负责人，金陵数学院院长李知州，看到何闻君占着口水印记的空白草稿纸，不由得直皱眉头，开口道

“小方，你手上的试卷给我，我来改这一摞。”

李知州接过奥赛试卷后，一脸嫌弃的先把何闻君的草稿纸丢到一边，认认真真的检查起来。

十分钟后李知州的脸色便由满脸严肃变为一脸疑惑，疑惑于这个叫何闻君的同学为什么草稿都不用做，答案却都做对了？

又十分钟李知州终于翻到了反面的论证题。

看了一会李知州的眼睛不由得瞪的浑圆，原来是何闻君不仅把后面几道超纲大题做出来了，还把他出的压轴题做对了，而且还是用了一种他们所有人都没想到的计算方法，看起来比他这个出题人的论证过程还要更加简洁。

压轴题是李知州亲自出的一道数论题，这道数论题的难度极高！

他出出来了就没打算让这些学生做对。

而何闻君呢？

他用了一种非常漂亮且精彩独到的方法把这道题解开了，李知州觉得他做出答案的过程比答案更精彩。

——

设正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，证明(a2+b2)/(ab+1)是某个整数的平方。

例如代入a=1，b=1，我们得到k=(12+12)/(1x1+1)=1，显然这是一个平方数。

请论证出来

下面是何闻君的论证过程

ab+1可以整除a2+b2，所以(a2+b2)/(ab+1)是正整数。设有正整数a及b满足(a2+b2)/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。

在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响(a12+b12)/(a1b1+1)的值，所以我们不妨假设a1>=b1。

将a1与b1代入上面的式子得到

a1是一元二次方程x2-kb1x+(b12-k)=的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到

由此进一步得到a2需要满足的条件，

根据(1)，a2必为整数。